arctanx的导数

$text{arctan}(x)$（反正切函数）的导数是$1/(1+x^2)$。

我们可以使用简单的步骤来证明此结论。

我们知道，$f(g(x))$的导数为$f'(g(x))cdot g'(x)$，所以我们将$y=text{arctan}(x)$视为$f(x)$，$x$视为$g(y)$。换句话说，$x=tan(y)$即$f(g(x))=text{arctan}(x)$，因此我们需要找到$frac{dtext{arctan}(x)}{dx}=frac{dy}{dx}$。

我们可以先将$y=text{arctan}(x)$用正切表示，得到$x=tan(y)$。接下来对两边求导：

$$frac{d}{dx}(tan y)=frac{d}{dx}(x)$$

使用链式法则：

$$frac{d}{dx}(tan y)=frac{d}{dy}(tan y)cdotfrac{dy}{dx}=sec^2ycdotfrac{dy}{dx}$$

$$frac{d}{dx}(x)=1$$

将两边结合起来：

$$sec^2ycdotfrac{dy}{dx}=1$$

因为$x=tan y$，所以$sec^2y=1+tan^2y=1+x^2$。代入上式，我们得到：

$$frac{dy}{dx}=frac{1}{1+x^2}$$

因此，$text{arctan}(x)$的导数为$1/(1+x^2)$。

我们可以用另一种方法进行验证。我们知道，$tan(text{arctan}(x))=x$。两边对$x$求导数，得到：

$$sec^2(text{arctan}(x))cdotfrac{dtext{arctan}(x)}{dx}=1$$

因为$sec^2(text{arctan}(x))=1+x^2$，将其代入上式得到：

$$frac{dtext{arctan}(x)}{dx}=frac{1}{1+x^2}$$

这是与我们使用前一种方法获得的结果相同的。

因此，我们可以得出结论：$text{arctan}(x)$的导数是$1/(1+x^2)$。