2023年高考数学题-求球的表面积

一个四面体的每个棱长都是√2，四个顶点都在一个球面上，那么此球的外表面积是多少？

解：如图，做PS垂直底面ABC， S是交点，取M是AC的中点，则因为四个面都是正三角形，则B , S , M在一条线上。若O是球心，则O在PS上， 且OP=OB，现在要求OP等于R这个值。

将三角形PMB再做辅助线，如下图：

在三角形PMB中， PM=BM，都是等边三角形的高线长，设a=√2, 暂时用a代表等边三角形的边长，即四面体的棱长,为了减少计算错误。很容易知道PM=BM=a√3/2,

另外S是底边三角形ABC的中心，即三条中线的交点，所以BS是中线BM的三分之二长，

因此BS=(a√3/2) ·2/3=a√3/3，由于PB=a

随后利用勾股定理，在直角三角形PSB中求出直角边PS：

PS=a√6/3

所以cos α=PS/PB=( a√6/3)/a=√6/3

在直角三角形POT中，可以得出

R=OP=PT/cosα=(a/2)/( √6/3)=a√6/4

将a=√2带入， R=√3/2

最后球的表面积=4π·R·R=3π